我们所有人生活的地球

就好比是我手里的这颗沙子。

(资料图片)

宇宙里面所有的星球，

比我们地球上所有的沙子数量加在一起

还要多得多得多。

如果你看过电影《宇宙探索编辑部》，应该会对唐志军的这段话印象深刻。生命渺小如沙粒，甚至我们的星球在浩瀚宇宙中都只是一个质点。

而人类的伟大之处在于：正因知道自己渺小，才会向往探索宏大的存在。

早在几千年前， 阿基米德就曾经尝试数清世界上有多少粒沙子，他也成为了世界上最早思考大数问题的人。经过千年的不断攀登，目前人类已经可以描述出整个宇宙也写不下的巨大数字了。

你或许会说，所以，这和我有什么关系呢？

对于大多数人来说，有没有学好数学好像并不影响我们的生活。因为我们认识的数学大多来自课本和试卷，主要的形态是复杂的公式、抽象的概念，是有几只鸡兔、一边进水一边放水的游泳池。

数学也一直被各种调侃

而在热爱数学的人眼中，数学则是另一种形态：他们看到我们生活在数学构造的宇宙中，并在数学先驱们的肩上看到数学如何塑造我们的思维。

《亲爱的数学》希望告诉我们：你可以不精通数学，但当你越了解数学，你就越能被它无限启发。

作者之一的戴维·达林是一位“不务正业”的天文学博士，写了三十多年科普专栏，同时还是个摇滚乐手。他的学生阿格尼乔·班纳吉曾经拿到奥数世界冠军，15岁便和老师联合著书，目前已经进入剑桥大学学习数学。他们都是极其热爱数学的人，渴望向世界分享课本之外的数学。

戴维·达林（左）和阿格尼乔·班纳吉（右）

他们展现了两种风格的碰撞与融合——老师庞杂的知识储备和哲思，学生强大的逻辑和表述——并向我们重新介绍了长期被我们“视而不见”的数学世界，我们如何被数学改变，又如何被数学安慰。

一些被忽略的事实

数学是存在的，这一点毫无疑问。但是当数学没有被使用或者没有用现实中的物质表示出来的时候，它在哪里呢？

一个甜食爱好者最不想经历的可能就是蛋糕掉落了，而且好像它永远是奶油那一侧落地，可这是为什么呢？

其实这是一个数学概率问题。有充足的实验证明，如果蛋糕从桌上或厨房柜台上滑落，或者从盘子里掉落，常常更可能是奶油的一面着地。原因很简单：通常蛋糕意外掉落的高度大概在腰的高度，它在下落时有足够长的时间翻转半圈，正好以奶油的一面接触地面。

我们生活潜伏着数不胜数的数学案例，了解它们的存在只是起点，因为数学并不满足于包围我们的世界，它的力量也已渗透到我们的头脑中。

数学造就了怎样的思维，数学有时是反直觉的。

1与1万亿，哪一个更接近无限？大部分人会误以为一万亿或一亿亿亿这样大的数字，在某种程度上比十或千更接近无穷。实际上，不管我们想到一个多大的数字，它与无限的距离与数字 1 离无限的距离一样远，就好像人类的跳高纪录之于地球到太阳的距离——近乎为无意义。

古希腊的芝诺很早就从他的悖论了解到“无限”的危险之处，其中最著名的便是阿喀琉斯与乌龟赛跑的故事。飞毛腿阿喀琉斯要如何才能追上这只慢吞吞的爬行动物呢？首先他必须追上乌龟所在的地方，但是当他追上时，乌龟已经继续往前移动了……因此他永远追不上乌龟。

阿喀琉斯与乌龟赛跑

“飞矢不动”悖论也是类似的逻辑——每一瞬间箭的位置都是静止的，所以箭并没有动。

哪怕是对数学家们来说，“无限”也是一个非常令人头疼的问题，因为数学要求精准的数量和精确的定义，这恰好是无限不具备的。

亚里士多德提出了两种无限。第一种是“潜无限”，他认为这种无限在自然界中很常见，即在无穷时间中延伸的无限，例如四季无休止的循环。第二种是“实无限”，指无限某个时间点完全实现的无限，真正达到的无限（数学上或物理上），但亚里士多德认为它不可能真正存在，如果它存在，对数学并不是一件好事。

德国数学家大卫 · 希尔伯特提出过著名的“希尔伯特酒店悖论”，以展示无限的算术是多么奇怪。

想象一家拥有无数房间的酒店。如果入住 1 号房间的客人搬到 2 号房间，入住 2 号房间的客人搬到3号房间，依次类推，那么 1 号房间就可以被腾出来安置一个新的客人。同样，通过将1、2、3 号等房间的客人转移到 2、4、6 号等房间，就可以为无限数量的新客人腾出空间，而且这个过程可以无限地持续下去。这个结果听上去非常不可思议，因为我们的大脑在直觉上不习惯处理无限大的事物。

希尔伯特酒店悖论

既然无限是一个躲不掉又客观存在的概念，那不擅长想象无限的我们可以用什么方式来表述一个很大很大的数呢？

1920年，美国数学家爱德华·卡斯纳让他九岁的侄子米尔顿·西洛塔为 1 后面有 100个 0 的数字想一个名字，西洛塔想出的名是“googol”。这在卡斯纳与詹姆斯 · 纽曼合著的书《数学与想象》中被提到以后，被收录进了流行词典。

西洛塔还提供了一个“googolplex”，意为“在 1 后面写 0 写到你累了为止。” 如果我们将这个轻描淡写改良一下，googolplex 可以精确地表示为：它是10的googol次方，即 1 后面有 googol个 0 。googolplex 大得吓人，地球上没有足够多的纸张能写下它，即使把每一个零写得像质子或电子一样小，在整个可观察宇宙也不足写下它的全部位数。

“已知的宇宙，也无法容得下能写完googolplex所有的零的纸”

由googol衍生出的，googolplex，zoogol和zoogolplex的数值

数学的慰藉

尽管知道数学的功能，我们依然会疑惑它究竟能给我们带来什么？既然万万亿在无限面前也可以被忽略不计，那是否意味着普通人毕生的努力在永恒中一文不值、终是泡影？

当然不是，当我们翻转角度，每一个微小的数字都和万万亿一样接近无限，正如作者在“无法抵达的彼岸”中所言：“无限其实就包含在每一个数字之中，不管这数字有多小。”

数学就是这样，如此笃定，又像多维空间一样，当你翻出口袋的里衬，总能看到另一面真理。

如果票选数学中最能代表“孤独”的名词，质数应该会榜上有名。质数是只能被自身和 1 整除的数，并且当数字变得越来越大时，质数也变得越来越稀疏，似乎质数是一个个孤岛，互相遥望，亟待救赎。它的孤独属性已经走出数学的天地，文艺作品也会借鉴这一引申义，凸显主人公与周遭的格格不入。

《质数的孤独》

*剧中性格孤僻的马蒂亚和同学玛利亚互为“孪生质数”，共同的人生磨难让他们相互理解，又因为自身的性格永远保持距离，就像孪生质数，靠近却又孤独。

而数学告诉我们，要破解这种孤独只需要换一种方法。1963年，波兰数学家斯塔尼斯拉夫·乌拉姆正在听一场无趣的演讲，他在纸上随意涂鸦打发时间。他以数字1作为中心，沿着矩形网格逐渐往外写下其他数字，他写满了一个方形的螺旋型数字。然后，他圈出了所有质数，不可思议的现象发生了——沿着螺旋的某条对角线，以及某些水平和垂直的排列，质数的数量异常密集。人们用计算机制作出了更大的乌拉姆螺旋，其中包含上万个的数字， 这样的规律依然存在。

从质数41 开始的乌拉姆螺旋，其中质数标为灰色，质数的平方标为深灰色。

数学先于我们存在，也会在我们离开后证明我们曾经存在，而载体就是音乐。

1977年9月5日发射的旅行者一号是首个发射到星际空间的人造物体，每个探测器都携带了一张镀金铜质留声机唱片的信息，记录了包含描绘地球上的各种生命、自然环境和人类社会的声音和图像。

人们还非常考虑周到地附上一个唱针和编码过的操作方法，以便外星人能顺利播放唱片。这趟旅程没有目的地，也无期限，足够长的时间后，或许人类不复存在，但这几颗承载着文明记忆的飞行器将依然飘荡，宣告“人类曾经来过”，这将会是何等的浪漫。

金唱片

正如没有目的地的“旅行者一号”，我们不断拓展数学的边界，这不仅仅是对数学的探索，也是对自然哲学的叩问，作为学生的人类总会想从自然的密码中获得更多慰藉。

我们几乎是星尘的产物，构成我们的很大一部分原子核是源于宇宙中的巨大恒星的核心。因此每当我们仰望夜空，我们都能看到人类的最初起源。

或许我们有时会认为数学与现实也是相脱离，但它就在这里，就在此时此刻，就在我们所做的每一件事、看到的每一个事物中。我们可能还会时常感到生活平淡无奇，但其实我们就身处不可思议的奇迹之中，而所有不同寻常的创造的背后全是数学的奇妙与魅力。